<\/p>\n
Inverse Probleme bestehen meist darin, Ursachen aus beobachteten Wirkungen zu rekonstruieren. Beispiele sind unter anderem Bildgebungsverfahren in der Medizin, den Natur- und den Ingenieurswissenschaften wie etwa Computertomographie, Magnetresonanztomographie, Eletronenmikroskopie, seismische Bildgebungsverfahren oder optische Nanoskopie (etwa STED oder SMS). In vielen F\u00e4llen kann die Bestimmung der Wirkung einer gegebenen Ursache, das sogenannte Vorw\u00e4rtsproblem, mit Hilfe von Differentialgleichungen modelliert werden. Dies f\u00fchrt auf inverse Probleme, bei denen aus Beobachtungen der L\u00f6sung einer Differentialgleichung oder eines Teils einer solchen L\u00f6sung ein Bestandteil der Differentialgleichung rekonstruiert werden soll, etwa eine Koeffizientenfunktion, eine Anfangsbedingung, eine Randbedingung oder die Form eines Gebietes.<\/p>\n
<\/p>\n
Eine Hauptschwierigkeit bei der L\u00f6sung inverser Probleme ist das Ph\u00e4nomen der Schlecht-Gestelltheit<\/strong>: Ganz verschiedene Ursache k\u00f6nnen oft sehr \u00e4hnliche Wirkungen haben, und deshalb ist es schwierig, solche Ursachen aus fehlerbehaften Beobachtungen der entsprechenden Wirkungen zu rekonstruieren. Stabile Rekonstruktionsverfahren m\u00fcssen daher a-priori Wissen \u00fcber die L\u00f6sung (die unbekannte Ursache) nutzen. Das k\u00f6nnen zum Beispiel Glattheits- oder Sparsity Informationen oder auch Nichtnegativit\u00e4tsbedingungen sein. In der Regularisierungstheorie <\/strong>versucht man zu zeigen, dass der Rekonstruktionsfehler trotz Schlechtgestelltheit gegen Null konvergiert, wenn der Datenfehler gegen Null geht, und ggf. wie schnell diese Konvergenz ist.<\/p>\n <\/p>\n Neben generischen Regularisierungsverfahren, die auf der Formulierung eines schlecht gestellten inversen Problems als Operatorgleichung F(x)=y mit einem nicht stetig invertierbarem Vorw\u00e4rtsoperator F beruhen, werden auch Problem-spezifische Rekonstruktionsverfahren untersucht. Solche Verfahren bestimmen oft nur einen besonders relevanten Teil der unbekannten Ursache x, etwa ein Funktional von x, den Tr\u00e4ger einer Funktion oder eine Singularit\u00e4t. Beispiele sind Sampling- und Probe-Verfahren f\u00fcr inverse Streuprobleme, Rekonstruktionsverfahren f\u00fcr elektrische Impedanztomographie, die auf geometrical optics solutions oder Monotonie-Eigenschaften basieren, Time Reversal Methoden und (verallgemeinerte) Kirchhoff Migration Verfahren oder die Bestimmung von Polarisations- und Momententensoren kleiner Inklusionen.<\/p>\n <\/p>\n Eine grundlegende Frage f\u00fcr jedes inverse Problem betrifft die Identifizierbarkeit, ob also die unbekannte Ursache eindeutig durch idealisierte fehlerfreie Beobachtungen bestimmt ist. Dar\u00fcber hinaus interessiert man sich bei schlecht gestellten Problemen f\u00fcr Absch\u00e4tzungen der Instabilit\u00e4t unter a-priori Informationen an die L\u00f6sung. Zur Beantwortung dieser Fragen kommen je nach Problemklasse ganz unterschiedliche Techniken zu Einsatz. Auch die Analysis von Rekonstruktionsverfahren erfordert je nach Datenfehlermodell und Verfahrensklasse ganz unterschiedliche Werkzeuge. So liegt das Gebiet der inversen Probleme aus mathematischer Sicht an der Schnittstelle von Theorie und Numerik partieller Differenzialgleichungen, Differenzialgeometrie, Integralgeometrie, numerischer Analysis, Statistik, Uncertainty Quantification und maschinellem Lernen.<\/p>\n <\/p>\n\n\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Inverse Probleme bestehen meist darin, Ursachen aus beobachteten Wirkungen zu rekonstruieren. Beispiele sind unter anderem Bildgebungsverfahren in der Medizin, den Natur- und den Ingenieurswissenschaften wie etwa Computertomographie, Magnetresonanztomographie, Eletronenmikroskopie, seismische<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-2","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/inverseprobleme.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/inverseprobleme.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/inverseprobleme.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/inverseprobleme.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/inverseprobleme.de\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/inverseprobleme.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":238,"href":"http:\/\/inverseprobleme.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2\/revisions\/238"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/inverseprobleme.de\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}